Nie cierpisz muzyki współczesnej? Mało kto ją lubi. Kiepski byłeś z matematyki? No cóż, ja w liceum przez nią ledwo zdałem do czwartej klasy. W tej sytuacji powinien spodobać Ci się dzisiejszy felieton.
Opowiem ci niesamowitą historię o „Kwartecie na koniec czasu” Oliviera Messiaena i o liczbach Fibonacciego. Niewiele Ci mówią oba te nazwiska? Nie martw się, nie jesteś wyjątkiem. Trochę historii i teorii matematyki, jeśli pozwolisz. Nie pozwolisz? Uciekasz stąd? Zaczekaj proszę, zaraz się rozkręci!
Olivier Messiaen skomponował „Kwartet na koniec czasu” w 1941 r., kiedy siedział w obozie koncentracyjnym Stalag VIII A w Görlitz (Zgorzelcu). 75 lat później animator Simon Russell i matematyk Marcus du Sautoy połączyli siły, aby stworzyć niezwykle szczegółową wizualizację pierwszej części dzieła, “Kryształowej liturgii”. Obejrzyj ją najpierw.
Dotrwałeś do końca? Zuch! O czym opowiada ta część? Z Internetu możesz dowiedzieć się, że to…”Ranek. Samotny ptak improwizuje w otoczeniu krótkich fragmentów tonów oraz harmonicznego blasku chwały, który gubi się w wierzchołkach drzew. Pod kątem religijnym, jest to harmoniczne milczenie nieba. Na fortepianie grane jest rytmiczne ostinato, które bazuje na trzech hinduskich rytmach. Na klarnecie kontynuowany jest śpiew ptaka”. Nudne, co?
A wiesz, że o wiele ciekawsza jest matematyka ukryta w tym utworze i w animacji? Chcesz posłuchać? Marcus du Sautoy wyjaśnił, że niektóre pojęcia matematyczne przyczyniły się do powstania animacji, ale i samego kwartetu.
Liczby Fibonacciego
Liczby Fibonacciego są chyba najważniejsze w naturze. Ich określenie pochodzi od nazwiska XIII wiecznego matematyka Leonardo Fibonacciego. Uzyskuje się je, poprzez dodanie do siebie dwóch poprzednich, np. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… itd. Fibonacci odkrył, że liczby te często pojawiają się w przyrodzie.
Animacja do „Kwartetu…” Messiaena również jest nimi wypełniona. Od momentu 1’01’’dostrzeżesz jak dno kwiatowe rozwija się w takt muzyki, przy użyciu liczb Fibonacciego. W naturze przykładów jest co niemiara: nasiona słonecznika ułożone są w tych proporcjach, pszczoły rozmnażają się zgodnie z założeniami ciągu Fibonacciego (1 rodzic, 2 dziadków, 3 pradziadków, 5 prapradziadków), forma łopatek w pospolitych szyszkach to nic innego jak ciąg Fibonacciego, budowa muszli ślimaków opartych na spiralach również podlega tej zasadzie liczbowej.
Złoty stosunek (boska proporcja)
A teraz spójrz na animację w momencie 1’07’’. Ujrzysz pentagram. Został on zbudowany zgodnie z matematyczną zasadą zwaną „złotą proporcją” (także wynikającą z liczb Fibonacciego). W matematyce definiuje się, że jest to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Upraszczając, to stosunek 2/3 do 1/3. Złoty podział w muzyce zastosował nie tylko Messiaen. Przed nim, aby uwypuklić istotne momenty w kompozycji, korzystali z niego Mozart, Debussy i Bartok.
Liczby pierwsze
W centralnej części animacji (1’25’’) zobaczysz niezwykłą maszynę matematyczną. Zbudowana została z dwóch tarcz – mniejsza ma 17 zębów, większa 29. Mniejsza odpowiada za sekwencję rytmu, który powtarza się co 17 uderzeń akordów. Większa to sekwencja powtarzających się różnych akordów. Jest ich… Domyślasz się już ile? Tak! – 29! Aby trybiki ponownie się spotkały (wróciły do pozycji wyjściowej) musi przejść 17 x 29 = 493 kliknięć. To sztuczka z użyciem licz pierwszych. Liczba pierwsza – jeśli nie wiesz – to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. W przyrodzie liczy pierwsze też mają zastosowanie. Na przykład w Ameryce Południowej żyje cykada, która rozmnaża się co 17 lat. Robi to tylko po to, aby uniknąć pewnego drapieżnika, który również rozmnaża się okresowo.
12
Wieże zegarowe, które strzegą pływającej wyspy, pojawiają się w drugiej minucie animacji. Dwunastogodzinna tarcza symbolizuje pewien wyrafinowany pomysł muzyczny. Cała muzyka, której słuchasz zbudowana jest z dwunastu dźwięków. Nie wierzysz? Policz ile jest wszystkich klawiszy na fortepianie od „do” (c) do następnego „do” (c1). Jak nic, wyjdzie ci dwanaście. Technika 12-tonowa, którą stosował w swoich kompozycjach Messiaen jest niesamowita. Wyobraź sobie, że na dwunastu karteczkach masz napisane cyfry od 1 do 12. A teraz tasuj je tak, żeby wyjmując je z talii od góry jedna szła na wierzch, a druga pod spód. Kiedy rozłożysz nową talię, karty ułożą się według nowego porządku – najpierw parzyste (12, 10, 8, itd.), a potem nieparzyste (1, 3, 5, itd.). Według podobnego systemu Messiaen skomponował kilka swoich utworów.
Pod koniec animacji widzisz mur otaczający pływającą wyspę. Zbudowany został z 34 części. Symbolizują one 34 rytmy, z których Messiaen ułożył “Kryształową liturgię”. Dlaczego 34? Myślę, że już wiesz, i że już mógłbyś zdać egzamin z muzyki i matematyki. Tak, to znowu ciąg Fibonacciego.
Robert Majewski
Fot.eioba.pl/towpis.pl